保守力和非保守力


本文将循序渐进,从国中、高中、大学的角度说明保守力和非保守力,重点以红字与粗体先行标示,紧接着的后文则进一步说明。以下是本文大纲:

国中角度来看保守力和非保守力

先讲第一点。我自己在国中理解的位能是这样的,速度很快被撞超级痛,这代表物体有能量(动能)。但有时候物体明明是静止的,但当它被释放(例如:石头从高处落下、弹簧被鬆开),它的速度也可以很快。这代表有种能量(位能)是被存在静止的物体的,物体抬得越高能量被存进去更多(重力位能)、弹簧被压得越紧能量被存越多(弹力位能)。而高处落下或弹簧鬆开,存起来的能量就会被释放出来,变成速度(位能转成动能)。所以,保守力指的是对物体作功后可以转换成位能储存的力。

前一段讲的,物体越高能量越高(重力位能 $$U=mgh$$),隐含了重力是保守力这个概念。弹簧越紧能量越高(弹力位能 $$U=\frac{1}{2}kx^2$$),弹簧力也是保守力。

而相反的,如摩擦力就无法讨论对应的位能,因为这个力做了功之后化成热能,结果我们无法把此能量取回来、重新做功。因此,摩擦力非保守力。你平常在推东西的力,也不是透过体内储存的某种位能之改变而造成,所以它也是非保守力。下面整理高中常见保守力的实例:

                              保守力:重力、弹簧力、静电力
                              非保守力:摩擦力、阻力(空气.水)、推力、拉力

再来看第二点。国中时候的你一定有学过力学能守恆。先釐清它跟能量守恆有什幺不一样?让我们複习下,力学能$$=$$动能$$(K)+$$位能$$(U)$$。所以它指的是单纯力学运动中会碰到的能量,我们不考虑电能.热能.化学能…等,那是能量守恆要去想的事。

所以力学能要守恆,代表动能+位能要固定,代表受力过程中动能位能要能互相转换。代表受力做功要能储存成位能,也就是受到的力是保守力。举个例,像重力。想像小球从高处落下时,高度越低(位能下降)、速度越快(动能上升),这是位能转动能,力学能守恆。或者往天空用力丢小球,高度越高(位能上升)、速度越慢(动能下降),这是动能转位能,力学能同样守恆。

而如果受的是非保守力,那只会损耗力学能而不会守恆。像摩擦力,一个小球在地面滚动,速度越变越慢,但高度不变,只会有热散失到空气中(动能转热能)。

下面我们看个你一定很熟悉的题目:有一个静止小球 $$10kg$$ 在 $$10m$$ 高的台阶上,当受到重力顺着斜坡(光滑无摩擦)滑下来,到达地面时速率多少?(图一)

保守力和非保守力 保守力和非保守力
简单吧,是不是很熟悉的用 K初+U初=K末+U末,然后答案解出,轻鬆得分。这里用的观念就是力学能守恆,但它有两个前提,受到重力光滑无摩擦。力学能守恆的前提就是:你受到的力要是保守力才会力学能守恆,如果是非保守力则否。所以整个过程只受重力(保守力),而没有非保守力(摩擦力),所以可以用力学能守恆。

如果题目说斜坡是粗糙有摩擦,则非保守力(摩擦力)会造成力学能损耗,就不能用 K初+U初=K末+U末 去算,必须另外计算摩擦力做功造成多少损耗。下面补充箱子受力图,与各力的作功。

保守力和非保守力

到这边再重新归纳一次。保守力:有位能,力学能守恆,重力弹簧力都是。非保守力:没有位能,力学能通常会损耗,推力、摩擦力、阻力都是。这些是比较通俗的讲法,下面我们讲讲较严谨的定义。

高中须知道保守力的定义

上面这两点在数学上是等价的,讲的是同一个定义,我们在这边节省篇幅,着重在讲解第一点。

保守力和非保守力

图三

什幺叫作功与路径无关?请看图三,物体从 $$A$$ 点到 $$B$$ 点有三个路径 $$1$$、$$2$$、$$3$$,如果对物体施力走这三条的做功都相同,代表作功与路径无关,这种力就是保守力。反之则为非保守力。

下面让我们分别以重力(保守力)、摩擦力(非保守力)做例子,用简单的题目和数字来算算看,什幺叫与路径无关。

重力(保守力):

题目:今天有一个箱子重量 $$mg$$,小明把它抬高 $$d$$ 公尺。小华无聊又白目,所以他抬高箱子 $$d$$ 公尺后又把它放到地上,再抬一次。请问这两种过程中,重力对箱子的作功各是多少?

解答:
保守力和非保守力 保守力和非保守力

先讲一点,在这里箱子往上抬的过程(位移 $$1$$、$$3$$),因为重力往下位移往上,方向相反,所以作的是负功 ($$W_1$$、$$W_3$$)。

那注意到里面的运算吗?虽然小华比小明多抬了一下,但因为重力一直是向下的,所以箱子被放下时重力作正功 $$(W_2)$$,抬起时作负功 $$(W_3)$$,放下和抬起的作功刚好抵销。即使小华今天想勤练肌肉,把箱子抬上抬下 $$N$$ 次,总重力作功 (W华)一样是 $$-mgd$$,箱子本身的高度就只会上升 $$d$$,不会有更多位能。只要箱子是从 $$A$$ 点移到 $$B$$ 点,不管过程中箱子被抬多少下,重力作功都相同,与过程路径无关,所以重力是一种保守力。

摩擦力(保守力):

题目:同样的明、华二人组。今天小明把开学装书的箱子从楼梯口推到 $$A$$ 教室门口(与楼梯口相距$$d$$公尺)。情窦初开的小明,偏偏要把箱子推到隔壁教室 $$B$$(与教室 $$A$$ 相距 $$d$$ 公尺),看一眼最爱的阿花,再把箱子推回 $$A$$ 教室门口。请问这两种过程中,摩擦力 $$(f_k)$$ 对箱子的作功各是多少?
保守力和非保守力保守力和非保守力

同样提醒一点,在这里摩擦力和位移都是反方向,不管位移 $$1$$、$$2$$、$$3$$,摩擦力都作负功($$W_1$$、$$W_2$$、$$W_3$$)。

从运算里可以看到,因为摩擦力一直作负功,所以小华推去 $$B$$ 教室又推回 $$A$$ 教室的途中 $$(W_2+W_3)$$,摩擦力作的功不会像重力一样抵销,而是产生更多的负功。小华只要够无聊,他每多推一次摩擦力就会多作 $$-2f_kd$$,这部分能量会转变成热能散失在周遭。

结论:同样是箱子从楼梯口到教室 $$A$$,但只要绕的路径越长,摩擦力作功就越多。摩擦力做功与过程路径有关,所以摩擦力是非保守力。

那在最后,我们把定义换个说法来複习一下。保守力做功大小只和移动的初位置和末位置(位移)有关与移动路径无关,而非保守力做功大小则要考虑物体走的是哪条移动路径。

到这边我们已经了解高中保守力需要知道的东西了,但我们只要上网路一查,常会查到一些不熟悉的数学符号,这部分是在大学学会微积分后,我们就可以用数学(微积分)去把保守力作定义。下面我们不谈数学,只简单讲讲这些数学在表示什幺物理意义。

数学上保守力$$(F)$$的定义

第一点,$$F$$ 的旋度是 $$0$$,旋度这东西很特别,它指的意思就是这个物理量$$(F)$$他会围绕着一个点旋转(通俗的说法)。举个熟悉的例子,我们国中有学安培右手定则:一个通电流的导线,它周遭会有同心圆旋转的磁场。所以对于这根导线来说,磁场是围绕着它旋转,这个磁场就有旋度(相对于导线)。如果世界上有一种力的分布就像上述磁场一样,则此力就不可能是保守力,因为沿圆周绕一圈回到原点后,此力会做净功。这与前面提到的定义 $$2$$,封闭路径作功为 $$0$$ 不符。做因此,保守力的条件就是旋度为零。

第二点,这应该很熟悉吧。没错,它就是高中我们学到的定义 $$2$$,只是用数学形式表示。

第三点,这其实刚刚也提到,它是国中说法里面的第一点,只要是保守力就会有对应的位能,$$\Phi$$ 代表的就是位能。这个式子只是换句话说,你一定找得到一个位能 $$\Phi$$,他的梯度能对应到保守力 $$(F)$$。特别提一下这里的负号,我们高中会学到重力位能差的定义:重力位能差等于负的重力做功。这边的负号代表的就是位能差定义里提到的负的。

以下补充解释下梯度,梯度是描述物理量 $$(\Phi)$$ 的陡峭(变化)程度。这个式子说的是,今天你有一个位能 $$\Phi$$ (假设是重力位能),那位能的梯度基本上就是物体所受到的力(亦即,算重力位能的梯度就可得到重力)。

倒过来想更好理解,今天你抬物体上升一固定高度 $$h$$,那物体的重力位能一定是变大了。既然高处的位能 $$\Phi$$高处 大于低处的位能 $$\Phi$$低处,$$\Phi$$ 显然是有一个梯度 $$(=(\Phi$$高处$$-\Phi$$低处$$)/h)$$。由于 $$\Phi$$高处$$-\Phi$$低处 就等于你以力量 $$F$$ (恰等于重力)去抬高物体所做的功 $$F\cdot h$$,因此的 $$\Phi$$ 梯度就是 $$F$$。

参考资料:

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